推导对数正态分布数学期望的积分过程

设正态分布概率密度函墙绅褡孛数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)柯计瓤绘]，就是均值是u,方差是t^2。

于是：

∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域。

（1）求均值

对（*）式两边对u求导：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆开,再移项：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.

(2)方差

对(*)式两边对t求导：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移项：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好凑出了方差的定义式,从而结论得证。

其中

xxx与yyy叫做积分变量，f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被积函数，dσd\sigmadσ叫做面积元素，DDD叫做积分区域。

参考资料来源：百度百科--二重积分