两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F11

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=842x²-58xy+y²-6y+184x-18,则w的最小值是多少？

2、※.配方法求解

   运用配方法将W(x,y)=842x²-58xy+y²-6y+184x-18变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

3、  解：W(x,y)=842x²-58xy+y-6y²+184x-18

=841x²-58xy+y+174x-6y²+9+x²+10x+25-52

=(29x-y)²+6(29x-y)+9+(x+5)²-52

=(29x-y+3)²+(x+5)²-52

∵x,y为实数，

∴(29x-y+3)²≥0，(x+5)²≥0,

此时x=-5，y=-142,

∴W的最小值为：Wmin=-52.

4、※.导数法求解

W(x,y)=842x²-58xy+y²-6y+184x-18，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=1684x-58y+184,

W|y’=-58x+2y-6;

令W|x’=W|y’=0，则：

58y-1684x=184,

2y-58x=6.

5、解二元一次方程组，有：

x=-5,y=-142;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-5,-142)

=842*(-5)²-58*(-5)*(-142)+(-142)²

²-6*(-142)+184*(-5)-18,

=21050-41180+20164--852+(-920)-18,

=-52.